sábado, 3 de diciembre de 2011

Multiplicadores de Lagrange - Problemas de Optimización Resueltos

Multiplicadores de Lagrange: es un procedimiento para encontrar los máximos y mínimos de funciones de varias variables sujetas a restricciones. Este método reduce el problema restringido con n variables a uno sin restricciones de n + k variables, donde k es igual al número de restricciones, y cuyas ecuaciones pueden ser resueltas más fácilmente.

Explicación del Concepto de Multiplicadores de Lagrange


Ejemplo:
f(x,y,z)= x + 2y     s.a.    x+y+z=1,  y2+z2 = 4




Calcular los maximos minimos de la función Z(x,y) = 4x+16y  s.a.  x2+y2 = 7



Problemas de optimización, utilizando el método de multiplicadores de Lagrange.
Problema 0
Cuales deben ser las dimensiones de un envase para leche de forma rectangular, volumen de 512 cm3 y costo mínimo, si el material de los lados de la caja cuestan 10 colones el centrimetro cuadrado y el material de la tapa y el fondo cuestan 20 colones el centímetro cuadrado.
Solución:


Problema 01: Una caja de carton sin tapa debe tener 32.000 cm cúbicos, Calcule las dimensiones que minimicen la cantidad de cartón.
Problema 02: Hallar un paralelepipedo rectangular de área total dada S que tenga el volumen máximo.
Problema 03: Determinar las dimensiones de una caja rectangular de volumen máximo, tal que la suma del largo de las 12 aristas es una constante C.
Soluciones:



Problema 04
Un fabricante planea vender un nuevo producto al precio de $350 por unidad y estima que si se gasta x miles de dólares en desarrollo e y miles de dólares en promoción, los consumidores compraran aproximadamente (250y/y+ 2) + (100x/x+ 5) unidades del producto. Si los costos de fabr icación de este producto son $150 por unidad.
a) ¿Cuánto debería gastar el fabricante en desarrollo y cuanto en promoción para generar la mayor utilidad posible, si dispone de fondos ilimitados?
b) Suponga que el fabricante tiene solo $11 000 para gastar en el desarrollo y la promoción del nuevo producto, ¿cómo deberá distribuirse este dinero para generar la mayor utilidad posible?
c) Suponga que el fabricante del problema decide gastar $12000 en lugar de $11 000, en el desarrollo y la promoción del nuevo producto. Emplee el multiplicador de Lagrange para estimar de que manera afectará este cambio la máxima utilidad posible.
Solución:



Problema 05
Tanque de almacenamiento más económico. Su empresa desea diseñar un tanque de almacenamiento para gas líquido, las especificaciones del cliente piden un tanque cilíndrico con extremos semiesféricos, que debe contener 8000 m3 de gas. El cliente también quiere usar la menor cantidad de material para construir el tanque. ¿qué radio y altura recomendaría para la parte cilíndrica del tanque?
Solución:



Problema 06
Se requiere cortar y decorar un espejo rectangular de área 40 dm^2. Si los adornos a lo largo de los lados horizontales cuestan 16 centavos por decimetro y los de los lados verticales cuestan 25 centavos por decimetro, ¿Cuáles son las dimensiones que minimizan el costo total?
Solución:



Fuentes:

6 comentarios:

  1. Hola, gracias por compartir mis vídeos. Un mega abrazo.

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  2. Los vídeos estan muy bien, por eso los pongo. No dejes de subir más vídeos. :)

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  3. Buen blog, gracias por compartirlo. Saludos.

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  4. En el video 2 hay un error de calculo, de la 2 ecuación no es 2=2+2y.letramu pero 2=1+2y.Letramu ..... de ahi se cae toda la solución dada, que no es correcta.

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  5. no veo ejemplo de lagrage con 3 variables como por ejemplo el problema que me plantean
    maximizar f(x,y,z)=xyz s.a x+y+z-3=0 como soluciono este ejercicio o de que videos o documentos me puedo vasar para realizarlo

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