sábado, enero 14

Analizar y Simular Sistemas de Control con Wolfram Alpha

¿Qué tienen en común el reloj despertador, el termostato, la cafetera, el radio del coche, los frenos anti-bloqueo y  casi todos los otros dispositivos eléctricos y mecánicos que encuentras en tu vida diaria? Todos ellos son ejemplos de "sistemas de control", una de las tecnologías más modernas que estan en todas partes pero que no se ven. Un sistema de control es cualquier sistema o dispositivo que controla o regula el comportamiento de otro sistema. Usando varios tipos de sensores y actuadores, estos sistemas controlan de forma automática los aparatos más comunes, procesos industriales, e incluso los procesos biológicos de su propio cuerpo!

Tome el humilde termostato de su casa. La temperatura de su hogar depende de muchos factores, sobre todo cuánto tiempo y qué tan recientemente el calefactor de la casa estaba en marcha. Con un termostato instalado, lo contrario también es cierto: el estado del calefactor depende de la temperatura de la casa (se enciende si la temperatura es demasiado baja, y se apaga si la temperatura es demasiado alta). Hay un circuito cerrado de causalidad formado entre la temperatura del hogar y el estado del calefactor. Por diseño, el termostato crea una especie de circuito cerrado llamado "circuito de retroalimentación negativa", que tiende a estabilizar la temperatura en torno a un valor deseado. La mayoría de los sistemas de control son así: información de los sensores retroalimentan el sistema, que luego se utiliza para decidir una acción.

Wolfram Alpha tiene la capacidad de de entender algunos sistemas comunes por su nombre. Un ejemplo sencillo es el integrador. Un integrador es un sistema que acumula los valores de alguna entrada a través del tiempo. Por ejemplo, la cantidad de gas de su coche que se ha utilizado desde la última vez que se llenó, básicamente, es una integral de la posición del pedal del acelerador en ese momento. Dicho de otra manera, el gas se consume a una velocidad proporcional a la presión ejercida en el pedal del acelerador. Al escribir "control system: integrator", Wolfram Alpha  ofrece una lista de propiedades, gráficos,  donde se puede ver lo que sucede a la salida de varias entradas comunes:


control system: integrator



Otro tipo estándar de sistema de control que Wolfram|Alpha conoce es el controlador PID. Por lo general, implementado en la forma de un microchip programable, un controlador PID puede controlar electrónicamente algo basado en el valor (o un porcentaje del valor), la acumulación total (integral), y la tasa de cambio (derivada) de una cierta cantidad. Escribiendo "PID controller" y Wolfram|Alpha le ofrece una "calculadora" que le permite variar el valor de las "ganancias" de la parte proporcional,  integral y derivada, tambien muestra cómo estas variaciones afectan a las propiedades del controlador:


PID controller


En una representación del modelo de espacios de estado, las variables se relacionan entre sí mediante ecuaciones diferenciales ordinarias. Algunas de estas variables son las "entradas", otras son la "salida", y algunos son internos al sistema, las llamadas "variables de estado". Wolfram|Alpha utiliza la convención estándar, en el que las variables de entrada se denotan por u, las variables de salida por "y", y las variables de estado por "x". Al escribirlas de esta manera, Wolfram|Alpha puede analizar los modelos lineales de espacio de estado, que se pueden expresar como un sistema de ecuaciones diferenciales vectoriales:

x'(t) = Ax (t) + Bu (t)
y (t) = Cx (t) + Du (t)

... Donde A, B, C y D son matrices de números complejos. Por ejemplo, "A: {{1,0}, {1, -1}} B: {{0,2}, {1}} C: {{}} -1.3,1: response to the input u[t]= sin(8t)" 

A: {{1,0},{1,-1}} B: {{0.2},{1}} C: {{-1.3,1}} : response to the input u[t] = sin(8t)

La otra forma de representar un sistema de control es una función de transferencia. Una función de transferencia es una razón de U(s), de la transformada de Laplace de la entrada u(t), y de Y (s), la transformada de Laplace de la salida y (t). En general, una función de transferencia es una matriz de funciones n-por-m, donde n es el número de salidas y m es el número de entradas.

Utilizando cualquier función de transferencia o entradas de espacio de estado, puedes especificar un modelo discreto mediante la introducción de un período de muestreo distinto de cero, como por ejemplo 0.2:

transfer function : (s-3)/(-s^2-s+1) sampling=.2


También puedes preguntar acerca de las propiedades específicas o grupos de propiedades. Por ejemplo:


observability of the control system given by state: {{0,1,0},{0,-2,1},{1,-1,0}} input: {{0},{0},{1}} output: {{0,1,0}}

Experimenta creando tus propios sistemas de control o simplemente jugando con un sistema estándar, como el controlador PID. 


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