Aplicaciones de la Integral Doble - Problemas Resueltos

Ejercicio

Cambiar el orden de integración de la integral doble ∫_-1¹∫_x²-1^√(1-x2) f(x,y) dydx. (graficar la región de integración, realizar las particiones rectagulares)

Problema

Plantear un orden de integración adecuado para evaluar la integral doble ∫∫(3x - 2y) dA. Si R={(x,y) ε R²/ (y²+2)/2 ≤ x ≤ 5-|y|}. (Realizar un bosquejo de la región, hallar intersecciones entre las curvas, con los ejes)





Principales Aplicaciones de las integrales dobles: Cálculo de volúmenes, cálculo de masa(láminas), cálculo de carga eléctrica(láminas), cálculo del área de una superficie, centros de gravedad.

Problema.

Calcular el volumen del sólido ubicado debajo de la superficie z = x² + y² sobre la región R={(x,y) ε R²/ 0 ≤ x ≤ 3y, 0 ≤ y ≤1 }

Problema.

Calcular la masa de una lámina plana limitada por:   0 ≤ y ≤ 1 ;   arctan(y) ≤ x ≤ π/4; Si la función densidad en cada punto es f(x,y) = sec⁵x

Teorema del Valor Medio para integrales dobles.

Ejemplo: Determine el valor promedio de f(x,y) = e^x+y en D={(x,y) ε R²/ 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ x}

Problema.

Calcular el volumen del sólido limitado por las superficies (cilindro) z = y²- 1, z = 2, x = 0, x = 2.







Problema: Demostración convergencia de una integral doble
(utilizando cambio de variable a coordenadas polares en la integral doble)
Sea f: (0,1]→ R, continua y positiva, tal que:
    lim_t→∞ f(t)= +∞,  y   ∫₀¹f(t)dt = lim_ε→0⁺∫_ε¹f(t)dt < ∞

Mostrar que si F:B(0,1)→ R se define como F(x,y)=f(||(x,y)||) (donde B(0,1)={(x,y)εR²: x²+y²≤1},
entonces  ∫_B(0,1) F(x,y) dxdy < ∞

Relacionado:

 - Integrales Dobles - Teoría y Ejemplos Resueltos

Referencia de los videos:    

 -  http://www.youtube.com/user/espol50
  -   http://www.youtube.com/user/tareasplus