Aplicaciones de la banda de Moebius

La banda (o cinta) de Moebius es una superficie con una sola cara y un solo borde que además es no orientable. Fue descubierta de forma independiente por los matemáticos alemanes August Ferdinand Möbius y Johann Benedict Listing.

Como construir la Cinta de Moebius (y de Listing).

La matemáticas detras del Buscador de Google

¿Te has preguntado: cómo Google realiza busquedas rápidas y precisas? ¿Por qué Google siempre encuentra y muestra en la primera página aquello que buscamos? Las matemáticas pueden explicarnos como funciona el algoritmo de búsqueda de Google.

Navengando por la red encontré un proyecto sensacional, el proyecto se llama "Esto es Matemática", realizado por la Sociedad Portuguesa de Matemáticas, presentado por el profesor universitario, Rogerio Martins. El primer episodio salió en Youtube la semana pasada.
"Esto es matemática", muestra cómo las matemáticas se asocian directamente con las situaciones comunes de la vida diaria.

El segundo episodio habla sobre la matemática detrás Google.



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Importancia de las matemáticas - aplicación en la vida diaria de las matemáticas - en que se utilizan las matemáticas - matematicas vida cotidiana - aplicación de las matemáticas en la computación informática - explicación sencilla del algoritmo de búsqueda pagerank.

Usar el Buscador de Google como calculadora online

La última innovación del buscador podemos verla en la siguiente imagen:

La calculadora también incluye soporte para búsquedas por voz en dispositivos móviles (para verlo, basta con cambiar el dispositivo al modo horizontal). Por ahora, la función sólo está presente en la versión americana del motor de búsqueda y se puede acceder a través de la palabra "calculator". [Google Discovery]

Google como calculadora gráfica.

Google sigue añadiendo más servicios a su buscador. Hasta ahora, nos permitía dibujar gráficas en dos dimensiones con sólo poner la ecuación en su buscador. Por si esto fuera poco, acaban de añadir ampliar esta funcionalidad para poder dibujar funciones en 3 dimensiones.
El proceso es igual que antes: pones la ecuación, pulsas buscar y listos. El gráfico es interactivo, y sin salir de la página podemos rotarlo, hacer zoom o incluso animarlo.

Los gráficos son muy buenos, lo único malo que le veo es que no puedes poner funciones paramétricas. Por lo demás, una herramienta muy útil para todos los que estén estudiando ingenierías.

 Por si alguno tiene curiosidad, voy a poner enlaces a algunas figuras interesantes. Algunas figuras conocidas, como el cono, el paraboloide, la semiesfera, silla de montar o la semiesfera. 

Utilizando la derivada para calcular raices aproximadas

Hay varias maneras de calcular raíces cuadradas, cúbicas, etc. Dependiendo del tipo de raíz que se quiere encontrar, esta tarea se vuelve un poco complicada para los estudiantes que están empezando a comprender este tema. Encontrar una manera fácil de hallar las raíces puede ayudar mucho en la comprensión del tema.

Además de la descomposición en factores primos, la mejor manera de mostrar este tipo de cálculo a un estudiante de nivel elemental, es a través del método por aproximaciones. 

Vea el siguiente ejemplo para hallar √12.

Sabemos que √12 es mayor que 3, porque:

Sabemos que√12 es menor que 4, porque:

Entonces el valor numérico de √12 se encuentra entre 3 y 4, o sea: 

Realizando algunas aproximaciones, tenemos que:

Comprobando que:

En el buscador de Google puedes poner, sqrt 12 (que corresponde a √12) veras que el resultado es 3,46410162. 

Aplicaciones de la geometria: Diseño de Logotipos

Hace unas semanas atrás, Twitter actualizó su página de directrices, mostrando además de otras características  su nuevo logotipo. Siempre les digo a mis alumnos que no hay herramienta más potente que la geometría para obtener diseños precisos. Por supuesto, la informática hace que su contribución a través del desarrollo de software de edición de imágenes vectoriales, pero todo se fundamente en la geometría.

Para los que todavía no están convencidos del uso de las matemáticas en el diseño de logotipos, les invito a ver la siguiente imagen, que corresponde al logo de Apple

Para el diseño del logotipo de Apple, no solamente se hizo uso de la geometría sino también de un concepto que en matemáticas se conoce como proporción áurea (el numero de oro φ ).

Buscando logos famosos en Internet, encontré varios logotipos que son totalmente geométricos. Entre los que más me gustan esta el de Wolkswagem y el de Carrefour.

Observen el siguiente vídeo de 17 segundos donde se muestran el nuevo logotipo de Twitter. Todos los bordes de la nueva ave se forman sólo con círculos de diferentes diámetros. Impresionante!

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Aplicaciones de la geometría en el diseño de logotipos. Utilización de la matemática en la vida real. Ejemplos de usos de la geometría en la vida cotidiana. Para que sirve la geometría. Aplicaciones de la geometría analítica en el dibujo.

El uso de las matemáticas en los juegos de computadora

No me canso de mostrar cómo las matemáticas se aplican en diversas áreas de la ciencia. Desde albañiles, programadores de computadoras, investigadores nucleares, desarrolladores de juegos, analistas financieros, físicos, economistas, científicos, maestros, médicos, abogados, carniceros, analistas de sistemas, panaderos, hasta ingenieros, todos ellos hacen uso de las matemáticas.

La computadora está básicamente construida y desarrollada por circuitos integrados y teorías matemáticas. Siendo los programas que se ejecutan una serie de instrucciones que le dicen al hardware las tareas que debe realizar. Todo Software simple o complejo, utilizan técnicas matemáticas para desarrollarse (en diferentes niveles de abstracción), y claro también están incluidos los juegos, que son programas de ordenador.

En The Use of Mathematics in Computer Games (el uso de las matemáticas en los juegos de ordenador), escrito por Dan Goodman, publicado en el sitio www.nrich.maths.org  que está vinculado a la Universidad de Cambridge, el autor describe paso a paso como los contenidos matemáticos (vectores, transformaciones lineales) y físicas, se incorporan en el mundo de los videojuegos (en primera persona, en estrategia, en  3D).

El mejor Sudoku Online

En una página de test de Microsoft (al menos la dirección donde está el juego), muestran a los desarrolladores cómo aplicar el lenguaje de programación HTML5 y JavaScript para crear un algoritmo para resolver los desafíos en este caso, el Sudoku.

El juego tiene 4 niveles de dificultad: fácil, medio, dificil, muy dificil y loco :D. Al llenar el espacio vacío, haces clic en Comprobar para ver si los números introducidos son correctos. El botón Resolver dará la solución a cualquier nivel que elijas.

Este juego no requiere conocimientos matemáticos, sólo de tu capacidad para reconocer una secuencia numérica, de ingenio rápido, dependiendo del nivel elegido. Todos los días me acuerdo de este juego porque cuando llego al trabajo en la escuela, veo a un docente de literatura con una revista resolviendo  un Sudoku.

El sudoku se presenta normalmente como una tabla de 9 × 9, compuesta por subtablas de 3 × 3 denominadas "regiones" (también se le llaman "cajas" o "bloques").
Algunas celdas ya contienen números, conocidos como "números dados" (o a veces "pistas"). El objetivo es rellenar las celdas vacías, con un número en cada una de ellas, de tal forma que cada columna, fila y región contenga los números 1–9 sólo una vez.
Además, cada número de la solución aparece sólo una vez en cada una de las tres "direcciones", de ahí el "los números deben estar solos" que evoca el nombre del juego. (Wikipedia)

Enlace al juego: http://ie.microsoft.com/testdrive/Performance/Sudoku/Default.html

Esculturas Matemáticas usando objetos de oficina

La belleza de las matemáticas puede ser estudiada y considerada como un arte en muchos aspectos, sea geométrico (el más común) o algebraico. De una forma u otra, las matemáticas expresan a través de objetos concretos.

El uso de objetos extraños (clips,alfileres, etc.) Fue la manera en que el matemático Zachary Abel utilizó para construir hermosas esculturas geométricas perfectas.

Haga clic en las imágenes para ampliar y ver otras esculturas y sus descripciones (en Inglés).






Imágenes: zacharyabel.com/sculpture

Los Juegos en las Matematicas

Creo que la utilización de juegos matemáticos de computadora, traerá grandes beneficios a la Enseñanza de la Matemática:

 - Estudiar determinados contenidos de manera divertida (experiencias de aprendizaje);

 - Despierta en el estudiante un mayor interés por el contenido considerado antes aburrido;

 - Interacción productiva entre estudiantes conectados a través de Internet;

 - Estimula la capacidad de razonamiento lógico;

 - Incremento significativo en el aprendizaje de los estudiantes, como consecuencia de actividades dinámicas.

Este método puede proporcionar muchos beneficios cuando se aplica sobre la base de un plan preestablecido.

En Uno de los proyectos finales de un curso de matemáticas, que finalizó en 2007, donde yo era  colaborador, trataba exactamente este punto de vista de la aplicación de juegos concretos(manipulables) de matemáticas en el ordenador,  estaba claro para todos los involucrados en el proyecto, que la inclusión de juegos matemáticos en el proceso de enseñanza-aprendizaje, pueden dar resultados increíbles.

He creado una lista que contiene, ya sea directa o indirectamente, 5 juegos de matemáticas gratuitos que involucran una gran cantidad de razonamiento lógico.

Haga clic en los nombres de cada juego para iniciar el juego en una nueva pestaña. Todos los juegos no necesitan tener instalado Java para funcionar.

B-cubed

Confieso que era adicto a este pequeño juego. El B-cubo, es una plataforma para varios cubos, donde el objetivo es "caminar" sobre todos los cubos que terminan en el cubo rojo pasado. Hay otros cubos de colores diferentes que ayudarán en las fases del juego. Cuanto más avance será más complicado.

 

Utilice únicamente las teclas de navegación para mover los cubos y la tecla ENTER para iniciar la siguiente fase.
El contenido matemático que se puede tratar con este juego es el razonamiento lógico y la visión espacial de juegos.
En este vídeo pueden ver algunas de las fases del juego.

Alien Angles

Este juego esta orientado a ciertos contenidos, más concretamente,a geometría (ángulos, trigonometría). El objetivo es muy simple. Tiene que acertar a través de la flecha de color blanco el angulo mostrado. Tenga en cuenta la siguiente imagen.

  Ángulo de Alien: Angulo que se deba acertar.

  Aliens Found: Cantidad de fase.

  Su Ángulo: Ángulo que ha marco utilizando la flecha blanca.

  Precisión: La precisión del ángulo marcado en relación con el ángulo correcto.

Mueva la flecha blanca para determinar el ángulo de apertura, utilizando el botón azul para ajustar el ángulo.

Los Angry Birds y las Matemáticas

Es imposible jugar Angry Birds y no asociarlo con el movimiento parabólico o la gráfica de una parábola (gráfica de una función de 2º grado). Por lo menos para los que han puesto atención en sus clases de matemática o física, esto es mas que evidente.

He creado un problema y un modelo matemático del juego los Angry Birds, para que puedan ver la aplicación de las matemáticas en el juego. Suponga que estas jugando la versión real de Angry Birds, como se puede ver en el siguiente vídeo.



Se esta intentando disparar a un pájaro para que impacte en el cerdo que esta al final  del eje X;  el disparo describe una trayectoria en forma de una parábola con ecuación y = -3x² + 60x. La variables x e y están en metros. Véase la figura a continuación y responda:
a) ¿Cuál es la altura máxima alcanzada por el pájaro?
b) Suponiendo que se logra impactar al cerdo, ¿a que distancia se encuentra?

Interpretación:
El eje Y indica la altura que el pájaro puede alcanzar y el eje X la distancia que alcanzará.
Desde el punto de liberación, considere 0 (cero) la altura del pájaro. Cuando se libera, alcanza una altura máxima en V (vértice de la parábola) y luego cae hacia abajo hasta que impacta con el cerdo.

a) La altura máxima que el pájaro alcanza en el vértice V está dada por:

y

Puesto que el coeficiente de la función es negativo (a = -3), la parábola tiene un punto máximo, es decir, su concavidad está dirigida hacia abajo.

Por lo tanto la altura máxima alcanzada por el ave es de 300 metros.

b) El pajaro toca el suelo cuando y = 0, es decir 3x ²+60x = 0. Resolviendo esta ecuación de segundo grado con factor común, obtenemos x = 0 ó x = 20.
Por lo tanto la distancia a la que se encuentra el cerdo es de 20 metros.

fuente.

Libros de Problemas y Juegos de Lógica Matematica

El placer de tener un problema no resuelto en la cabeza - Adrián Paenza



Libros en formato PDF. (sólo para uso personal. Prohibida su reproducción comercial.)

¿Por qué cualquier número multiplicado por cero es igual a cero?

En símbolos: ∀a∈R; a·0 = 0

Esta pregunta  ha sido hecha por muchos de mis estudiantes. A veces, también yo les pregunto, para estimular su curiosidad. ¿Es que la respuesta no se encuentra directamente en el plan de estudios ó en el contenido de los libros de texto de primaria, ni en los de  secundaria. ¿Por qué?, no lo sé!

Y no es una cosa difícil de entender. Para empezar necesitamos algunos conceptos matemáticos básicos, los llamados axiomas de las matemáticas. En este caso, utilizaremos los siguientes.

Dados x, y, z representando  de números reales, tenemos:

P1) Distributividad
x·(y + z) =  x·y +  x·z

P2) Elemento opuesto o simétrico
x + (-x) = 0

P3) Elemento neutro
x + 0 = x

Con estas propiedades se puede probar la existencia de que ∀a∈R; a·0 = 0 es cierto.

Cómo probarlo? En matemáticas, una proposición es aceptada sólo cuando se demuestra. Una demostración matemática se basa en una hipótesis y una tesis, que son rigurosamente analizadas. 

Vamos a tener que empezar a partir de la hipótesis para probar la tesis.

Así:
 
Demostración:

Partiendo de que

a·0 =a·(0 + 0) → Tenga en cuenta que la igualdad es verdadera. Sólo se aplica P3.
a·0 = a·0 + a·0 → Se aplicó a la propiedad P1.

a·0 + [- (a·0)] =  a·0 + a·0 + [- (a·0)] → Añadimos el opuesto de (a·0) en ambos miembros de la igualdad.
0 = a·0 + 0 → Aplicando la propiedad P2.
0 = a·0 → Aplicando la propiedad P3.

Cambiando  los miembros, tenemos: a·0 = 0 ■


Por tanto ∀a∈R; a·0 = 0