miércoles, abril 11

Hallar Longitud de Arco Online con Wolfram Alpha

Una de las características del cálculo es la capacidad para determinar la longitud de arco o el área de una superficie. Una longitud de arco es la longitud de la curva si se "estirara" en una línea recta. También se puede pensar en ella como la distancia que viajaría si pasa de un punto a otro a lo largo de la curva, en lugar de ir directamente a lo largo de una línea recta entre los puntos.

Para ver por qué esto es útil, piensa en la cantidad de cable que se necesita para un puente colgante. La forma en la que un cable se arquea a sí mismo se llama una catenaria, pero con un peso plano como una calzada colgando de ella, toma la forma de una curva más familiar: una parábola.

Golden Gate Bridge

El puente Golden Gate, que se muestra arriba, tiene un tramo principal de 4.200 pies y dos cables principales que cuelgan de 500 pies desde la parte superior de cada torre de la carretera en el centro. Con esta información podemos utilizar Wolfram|Alpha para encontrar la ecuación que define la curva parabólica de los cables:
parabola through the points (0, 500), (2100, 0), (4200, 500)

Con la ecuación de la parábola podemos pedir A Wolfram|Alpha que halle la longitud de cada cable en el tramo principal:

tell me the arc length of y = x^2 / 8820 - (10x) / 21 + 500 from x = 0 to 4200

Así la parte principal de cada cable es de unos 4354 pies de largo ligeramente superior que la distancia entre las torres. Tenga en cuenta que Wolfram|Alpha muestra el cálculo necesario para encontrar la longitud del arco (al igual que la búsqueda de un área bajo la curva, la integración que se requiere), así como la respuesta. Cuando sea posible, Wolfram|Alpha devuelve una respuesta exacta, en este caso, la respuesta tiene que ver la función seno hiperbólico, que luego puede pedir a Wolfram|Alpha que lo aproxime a cualquier precisión deseada con el botón de más dígitos a la derecha.
¿Qué pasa con las curvas en tres o más dimensiones? Un ejercicio común en un curso de cálculo estándar es de encontrar la longitud del arco de una hélice. Esto podría ser la longitud del alambre necesaria para formar un resorte o la cantidad de cinta necesaria para envolver un cilindro sin dejar huecos.
Una hélice se puede expresar como una curva paramétrica en el que las coordenadas X e Y definen un círculo, mientras que la coordenada Z aumenta linealmente. Por ejemplo:

arc length of (x, y, z) = (sin(t), cos(t), 2t) from t = 0 to 10

También puede encontrar las longitudes de arco de curvas en coordenadas polares. En el siguiente ejemplo, utilizando las variables r y θ provoca que Wolfram|Alpha suponer que la ecuación dada se debe graficar en coordenadas polares:

length of the curve given by r = theta * sin(theta) from theta = 2 to theta = 9

Por último, no siempre se tiene que especificar una curva y dos puntos finales para explorar longitudes de arco con Wolfram|Alpha. Si no lo hace, Wolfram|Alpha va a producir una calculadora en la que puede cambiar dinámicamente los valores que no especificó.

Por ejemplo, supongamos que usted quería saber hasta qué punto una bola viaja cuando es lanzada en un ángulo de 45° con una velocidad inicial de 50 metros por segundo. Al ingresar sólo las ecuaciones de movimiento de la bola (usando un poco la física newtoniana) y el punto de partida (t = 0), se puede ver cómo cambia la distancia a medida que cambia el segundo valor de t:

arc length of {x(t) = 35t, y(t) = 35t - 9.8t^2} from 0

En la imagen superior, Wolfram|Alpha ha optado por un valor de 2 para el segundo valor de t. Cambiando este 2 a 3,5 hace que el resultado y la imagen cambien:

arc length of {x(t)=35t, y(t)=35t-9.8t^2} from 0

Esperamos que disfrutes de esta nueva característica de Wolfram|Alpha, y pronto esperamos tener nuevas funcionalidades matemáticas.

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