Problemas resueltos de Modelado de Funciones Lineales y Cuadráticas.

Ejercicio Nº1. Si un editor fija el precio de un libro en $20, deberán venderse 20,000 copias. Por cada dólar de incremento en el precio, las ventas caerán en 500 ejemplares. ¿Cuál debería ser el precio del libro con el fin de generar ingresos totales por ventas de $337,500?

Ejercicio Nº2. Una pieza de cinta de embalaje de 600 cm de largo se corta en dos partes para doblarlos en forma de un círculo y un rectángulo (en el que su base sea el doble de su ancho). Exprese la suma de las áreas del círculo y rectángulo en términos del radio del círculo; determine el dominio de la función suma.

Ejercicio Nº3. Un rectángulo con base de longitud x está inscrito en un círculo de radio 2. Exprese el área del rectángulo como una función de x.

Ejercicio Nº4. Una fábrica tiene costos fijos semanales de $ 280 por su producto y el costo variable por unidad es de $0,80. La fábrica puede vender x unidades a un precio de $ r por unidad, donde 5r =13− 0,01x:

a. Construye la función utilidad y determina la utilidad máxima.

b. ¿Cuántas unidades como mínimo debería producir y vender para obtener una utilidad de por lo menos $ 120?

Ejercicio Nº5. Un granjero tiene 600 metros de cerca, con lo que quiere acotar un corral rectangular adyacente a una larga pared ya existente. Usará la pared como un lado del corral y la cerca disponible para los otros tres lados. Exprese el área A del terreno como una función de la longitud de uno de sus lados.

Ejercicio Nº6. De una larga pieza de hoja de lata de 25 cm. De ancho se va a hacer un canalón para lluvia, doblando hacia arriba sus orillas para formar sus lados. Expresar el área de la sección transversal del canalón para lluvia como una función de su altura.

Ejercicio Nº7. Una larga lámina rectangular de metal de 32 cm de ancho, se va a convertir en una canaleta para lluvia doblando dos lados hacia arriba, de manera que queden perpendiculares al resto de la lámina. Exprese la capacidad de la canaleta en función a la longitud del doblado. ¿De cuántos centímetros debe ser el doblado para dar a la canaleta la capacidad máxima?

Ejercicio Nº8. Se dispone un hilo de 120m de largo, el cual se divide en 2 partes x, y. Con cada trozo se construye un cuadrado.

a. Halle la suma de las áreas de los cuadrados A(x) = A1(x) + A2(x) en función de x.

b. Calcule el área de los cuadrados, si el lado del cuadrado menor mide 10 m.

Ejercicio Nº9. Un lote rectangular va a cercarse en tres de sus lados. Si el área del lote es de 30 metros cuadrados, exprese la longitud de la cerca como una función de la longitud del lado no cercado.

Ejercicio Nº10. Se desea construir un recipiente con la forma de un cilindro circular sin tapa con un volumen de 36 π metros cúbicos. El precio del material que se usa para el fondo es el triple que el del material que se usa para la parte curva, si sabemos que el precio del material para la parte curva es de 10 soles.

a. Exprese el costo del recipiente en función del radio de la base del cilindro.

b. Determine el costo del recipiente si el radio de la base es 3 metros.

Ejercicio Nº11. Suponga que una caja rectangular tiene un volumen de 324 cm3 y una base cuadrada cuyo lado es x cm. El material de la base de la caja cuesta 2 centavos el centímetro cuadrado y el material para la tapa y los cuatro lodos cuestan 1 centavo el centímetro cuadrado. Exprese el costo total de la caja como una función de x.

Ejercicio Nº12. La compañía “A & R” tiene costos fijos semanales de $200 y costos por mano de obra y material de $ 0.70 por cada producto. La compañía puede vender x unidades a un precio p, en dónde -2p/3 = -5/3 + 0.01x/3. ¿Cuántas unidades deberá producir y vender a la semana para tener ingresos máximos?, ¿Cuántas unidades debe producir y vender para tener utilidad máxima?

Ejercicio Nº13. Se desea construir un recipiente con la forma de un cilindro circular sin tapa con un volumen de 24 π centímetros cúbicos. El precio del material que se usa para el fondo es el triple que el del material que se usa para la parte curva. Exprese el costo del recipiente en función del radio de la base del cilindro.

Ejercicio Nº14. Una fábrica de zapatos necesita de $1200.El costo de fabricación de un par de zapatos es de $12. Si se sabe por experiencia que si se fija un precio de $p dólares el par de zapatos, entonces los pares de zapatos a ser vendidos es “q “ donde p=18- q/100. ¿Qué precio deberá fijar la fábrica a fin de obtener una utilidad máxima?

Ejercicio Nº15. La librería Y&Y fija el precio de un libro en 20 soles cada uno, venderá 10000 ejemplares. Por cada sol de incremento en el precio, las ventas bajan en 400 ejemplares.

a. ¿Qué precio deberá fijar a cada libro de modo que el ingreso sea máximo?

b. ¿Cuál es el valor de este ingreso máximo?

Ejercicio Nº16. Un campesino piensa utilizar 180 pies de malla para encerrar un terreno rectangular, aprovechando parte de la orilla recta de un río como cerca de uno de los lados del rectángulo. Calcule el área del terreno, si la longitud del lado paralelo al río es:

a. El doble de la longitud de uno de los lados adyacentes.

b. La mitad de la longitud de uno de dichos lados adyacentes.

c. Igual a la longitud de uno de los lados adyacentes.

Ejercicio Nº17. Una compañía de autobuses ha adoptado la siguiente política de precios para los grupos que deseen alquilar autobuses. A los grupos que contengan un máximo de 40 personas se les cobrará una suma fija de $2,400.00 (40 veces $60). En grupos que contengan entre 40 y 80 personas. cada una pagará $60.00 menos 50 centavos por cada persona que pase de las 40. La tarifa más baja de la compañía de $40.00 por persona se ofrecerá a grupos que contengan 80 miembros o más. Exprese los ingresos de la compañía de autobuses como una función del tamaño del grupo.

Ejercicio Nº18. Una ventana tiene la forma de un rectángulo coronado por un semicírculo. Si el perímetro de la ventana es de 8 metros, exprese el área de la ventana (A), como función del ancho de la base de la misma, determine su dominio e indique para que valor del ancho de la base del área “A” es máximo y halle el valor de la misma.

Ejercicio Nº19. Encontrar el área y las dimensiones del mayor campo rectangular que puede cercar con 300 metros de malla.

Ejercicio Nº20. Un granjero desea cercar un campo rectangular para luego dividirlo en tres terrenos rectangulares, colocando dos cercas paralelas a uno de los lados. Si sólo cuenta con 1 000 yardas de cerca, ¿Qué dimensiones harán que el área del rectángulo sea máxima?