viernes, 1 de abril de 2011

Integración Fracciones Parciales - 21 Ejercicios Resueltos (pdf + videos)

El método de las fracciones parciales consiste en reducir un cociente de polinomios en fracciones más simples, que permitan obtener de manera inmediata una integral. El requisito más importante es que el grado del polinomio del denominador sea estrictamente mayor que el grado del numerador.

Fracciones Parciales
Caso 0: El Denominador tiene grado menor ó igual que el numerador



Caso 1: El Denominador es producto de factores no repetidos





Caso 2: El denominador es producto de factores lineales, algunos de ellos repetidos




Caso 3: El denominador es producto de factores lineales y cuadraticos, ninguno de ellos repetido y el cuadratico no se puede factorizar.




Caso 4: El denominador es producto de factores cuadraticos irreducibles, algunos de ellos repetidos.




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23 comentarios:

  1. cuando el denominador es (x^4+1) como se procede.

    Digamos (2+x^4)/(x^5+x) que regla se sigue para que los numeradores sean A, Bx^3, C

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  2. como seria integracion de (x^3+x^2+2)/(x^3-x) dx?
    tengo que dividir los polinomios primero?

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  3. Si tengo una integral con la forma Ax^2+Bx+C/Dx^2+Ex+F como seria el procedimiento??

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  4. cual seria una integral por fracciones parciales que contenga 2 ó más de los casos en su desarrollo? y compo seria su desarrollo?

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  5. y si mi integral es: dx/((x-3)^4) debo aplicar el caso 2? si es así, cómo sería? Gracias

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  6. integral de 5x^-3x^2+7x-3/(x^2+1)dx ?? ayuda

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    1. = ∫(5x^-3x^2 + (7x-3)/(x^2+1))dx
      = ∫(5x^2/x^3 + (7x-3)/(x^2+1))dx
      = ∫(5/x + (7x-3)/(x^2+1))dx

      :)

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  7. integracion por fracciones parciales ayuda aver qien puede ayudarme a resolverlo
    EJERCICIO
    x
    _______dx
    16x^4-1

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    1. Hola, la solucion de la integral:
      = ∫x/(16x^4-1)dx

      (No es necesario utilizar fracciones parciales)

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  8. Favor su ayuda para resolver este ejercicio:
    (x^6+7x^5+15x^4+32x^3+23x^2+25x-3) / (x^2+x+2)^2 (x^2+1)^2

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  9. Este comentario ha sido eliminado por el autor.

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  10. como resolveria esta integral
    ∫(x^3 -1)/x^4-4x+8 dx

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  11. hola amigos quisiera me dieran una mano con esta:
    ∫((6x+3)/(x^4+5x^2+4)

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    1. = ln(x^2+1) - ln(x^2+4) - 1/2 tan^(-1)(x/2) + tan^(-1)(x) + C

      :)

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  12. hola me pudieran ayudar con esta integral por fracciones parciales dx/x al 2 -1 se los agradeceria mucho.

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    1. Supongo que es ∫dx/(x²-1)
      Vemos que el denominador se puede factorizar, ya que es una diferencia de cuadrados, de la siguiente forma:

      ∫dx/(x+1)(x-1)

      Lo reescribimos;

      ∫dx[1/(x+1)(x-1)]

      A partir de aquí trabajamos solo con 1/(x+1)(x-1):

      A cada factor le corresponde una fracción de la forma A/(ax+b);

      1/(x+1)(x-1) = A/(x+1) + B/(x-1)

      Multiplicando ambos lados por (x+1)(x-1)

      1 = A(x-1) + B(x+1)

      Esto lo resuelves y obtienes A = -1/2 y B= 1/2

      Lo reemplazas en la integral y obtienes

      ∫dx[(-1/2)/(x+1) + (1/2)/(x-1)]

      Simplificando
      ∫dx[-1/(2x+2) + 1/(2x-2)]

      Separando
      -∫dx/(2x+2) + ∫dx/(2x-2)

      Resolviendo, nos da la solución:
      (-1/2)ln[2x+2] + (1/2)ln[2x-2] + c

      de otra forma:
      (1/2) ln[ (2x-2)/(2x+2) ] + c =

      (1/2) ln[ (x-1)/(x+1) ] + c

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  13. Hola! me gustaría poder recibir un pequeño empujón con esta integral ∫(x^4+2x^2-2x-4)dx/(x^2+3)^3

    Ya saqué las fracciones parciales:
    ∫dx/(x^2+3) - 4∫dx/(x^2+3)^2 + ∫(-2x-1)/(x^2+3)^3

    La primera sé que es arctan(x/√3), con esa no tengo problema... pero con las otras dos no puedo aplicar nada directamente, intenté por partes pero se vuelve cada mes más compleja y no llego a una solución. Chequé con Wolfram la solución que me plantea pero... la forma en que la resuelve no entiendo cómo "sale". Es decir por el procedimiento no tengo problema alguno, se me hace facil seguirle el paso, pero no comprendo como inicia, me hago la pregunta de "¿Cómo se me podría ocurrir hacer eso?".
    Veo que usa el método de sustitución, pero todos los videos que he visto son de sustitución muy sencilla, visible y obvia, nunca he visto sustituciones como las que me presentó Wolfram.

    IMAGEN

    La parte de esa imágen que no comprendo es:
    - Como saber que x=√(3)tan[u]

    A lo que voy, si no hubiese visto el Wolfram ¿Cómo saber que tengo que sustituir a x por √(3)tan[u]?

    En el bachiller veo Cálculo integral y estamos en la parte de integrar por fracciones parciales, pero nunca vimos como debe ser el método de sustitución así que si hay algún criterio que no sepa y se aplique en estos casos me gustaría saberlo.

    Espero y se pueda contestar mi pregunta. De antemano gracias :)

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  14. Hola! me pueden ayudar con esta integral

    ∫sqrt(1-x^2)/x^3 ; u^2 = 1-x^2

    Se los agradeceria mucho.

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    Respuestas
    1. => ∫√(1-x^2)/x^3 dx = 1/2 (-√(1-x^2)/x^2 + ln(sqrt(1-x^2)+1) - ln(x)) + C
      :)

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