Principio fundamental del conteo - Ejercicios Resueltos

Problema 01

Un contador tiene dos sacos negro y beige y 4 camisas: celeste, café, blanca y azul de cuantas maneras puede combinarse y representar con un diagrama de árbol.

Problema 02

Tengo en la cafetería están regalando tres tipos de sandwichs, de jamón, de salami y de tuna; ademas están obsequiando dos tipos de postre, de bizcocho y de helado. Cuantas combinaciones distintas pueden surgir de los tres tipos de sandwichs y de los 2 postres que están regalando.

Problema 03

Hay tres letras en cada tablilla y se usan 26 letras del alfabeto para formarlas.  Cuantas tablillas diferentes saldrán si cada una tiene 3 letras y esas 3 letras van seguidas de 3 dígitos y los dígitos pueden ser desde el 0 hasta el 9.

Problema 04

¿Cuántos números enteros positivos de seis dígitos hay? ¿Cuántos números enteros pares positivos de seis dígitos hay?

Problema 05

De Estados Unidos a España hay 12 aerolíneas diferentes; ¿de cuántas maneras se puede viajar de Estados Unidos a España y regresar en una aerolínea diferente?

Problema 06

La cantidad total de números enteros comprendidos entre 300 y 500 que se pueden formar, usando solo las cifras 3, 4 y 5, es igual a:

A) 44

B) 24

C) 30

D) 18

E) 52

Problema 07

¿Cuántos números de cinco cifras no tienen cincos ni treses?

Solución:

Tenemos que llenar cinco espacios _ _ _ _ _. En el primer espacio, de los diez dígitos, no podemos usar el 3 ni el cinco, pero tampoco podemos usar un cero ya que si ponemos cero, el numero tendría menos de cinco cifras. Entonces tenemos 7 opciones para el primer espacio. En las restantes 4 posiciones podemos poner cualquier digito excepto el 3 y el 5, es decir 8 opciones en cada caso. El principio de la multiplicación nos da un total de 7 × 8^4 = 28672.

Problema 08

Si hay que escoger un número de cuatro cifras que tenga todas sus cifras pares excepto cuatros y ochos, o todas sus cifras impares, excepto cincos y sietes, ¿De cuantas formas puede hacerse?

Solución:

Hay dos tipos de números que queremos contar: los que tienen dígitos pares y los que tienen dígitos impares. El principio de la adición dice que el total lo obtenemos sumando el total de cada caso.

Cuando todos son pares, hay cuatro posiciones _ _ _ _. En la primera posición tenemos que poner un número par que no sea 4 ni 8, pero tampoco cero (porque de lo contrario, el número ya no tendría cuatro cifras). Entonces tenemos dos opciones (2,6). Para las demás posiciones tenemos 3 opciones siempre (2,6,0). El total es 2 ×3^3 = 54.

Cuando todos son impares, como no podemos poner cincos ni sietes, tenemos 3 opciones para cada espacio: 1,3,9. En total hay 3^4 = 81 números de esta forma.

Entonces, el total pedido (usando el principio de la suma) es 54 + 81 = 135.

Problema 09

¿Cuántos números de seis cifras hay que no tienen sus dígitos repetidos ?

Solución:

Tenemos seis espacios a llenar _ _ _ _ _ _ . En el primero, tenemos 9 opciones, porque no podemos poner al cero. En la segunda posición también tenemos 9 opciones, porque, aunque ya no podemos usar el numero que escogimos antes, ahora si podemos usar el cero. Para la tercera posición tenemos 8 opciones (de los 10 dígitos, ya usamos dos), para la cuarta posición hay 7 opciones, para la quinta 6 y para la ultima 5. En total hay 9 ×9×8×7×6×5= 136080 números de seis cifras sin dígitos repetidos.

Aunque los principios básicos de conteo pueden usarse en la gran mayoría de los casos, usualmente hay formulas(basadas en esos principios) que nos permiten hacer los cálculos de manera más rápida.