Utilizando la derivada para calcular raices aproximadas

Hay varias maneras de calcular raíces cuadradas, cúbicas, etc. Dependiendo del tipo de raíz que se quiere encontrar, esta tarea se vuelve un poco complicada para los estudiantes que están empezando a comprender este tema. Encontrar una manera fácil de hallar las raíces puede ayudar mucho en la comprensión del tema.

Además de la descomposición en factores primos, la mejor manera de mostrar este tipo de cálculo a un estudiante de nivel elemental, es a través del método por aproximaciones. 

Vea el siguiente ejemplo para hallar √12.

Sabemos que √12 es mayor que 3, porque:

Sabemos que√12 es menor que 4, porque:

Entonces el valor numérico de √12 se encuentra entre 3 y 4, o sea: 

Realizando algunas aproximaciones, tenemos que:

Comprobando que:

En el buscador de Google puedes poner, sqrt 12 (que corresponde a √12) veras que el resultado es 3,46410162. 

A medida que cambiamos el radicando y el índice para números más grandes, este proceso se vuelve un poco más lento.

Incluso la gente de hoy que han completado sus estudios o que están en la universidad, me pregunta cómo calcular una raíz cuadrada, que no es exacta (tal vez no les enseñado o simplemente se han olvidado.)

Si asiste o asistió a alguna universidad en el área de Ciencias Exactas, reconocerá este tipo de cálculo. Mostraremos un procedimiento de diferenciación implícita para calcular las raíces cuya solución no es exacta.
Vamos calcular a raíz cuadrada de 10. Entonces queremos encontrar el valor de la expresión y = √10 ,  donde y es la raíz cuadrada de 10.

Primero ponemos la expresión en su manera general.

Diferenciando implícitamente la expresión tenemos que:

Sabemos que la raíz cuadrada de 9 es 3, teniendo eso en cuenta, hacemos x = 9. Si hallamos la raíz cuadrada de 10, entonces dx = 10 - 1 = 9 y, ahora, tenemos todo lo necesario para obtener una aproximación a la raíz cuadrada de 10,  reemplazando en la ecuación anterior tenemos:

Dado que la raíz cuadrada de 9  es 3,    3 + dy nos dará a aproximación para a raíz cuadrada de 10: