martes, 15 de febrero de 2011

Ecuación de la Parabola - Problemas Resueltos - Geometria Analitica



Definición de Parábola



Demostración de la ecuación de la parabola con vértice en el origen.



Obtener los elementos(Vértice, foco, directriz, lado recto) de parábola dada su ecuación.



Demostracion de la ecuación de la parábola con vértice fuera del origen.

Hallar la ecuación de la parábola con vértice V(2,5) y foco F(5,5)


Obtener los elementos(vértice, foco, directriz, lado recto, eje) de una parábola dada su ecuación.


Aplicaciones de la parábola en situaciones practicas.
1. Una antena parabólica tiene 3m de ancho, en la parte donde está situado su aparato receptor. ¿A qué distancia del fondo de la antena está colocado el receptor de señales?
2. Un túnel de una carretera tiene forma de un arco parabólico, que tiene 5m de ancho y 4m de altura, ¿Cuál es la altura máxima que puede tener un vehículo de transporte de 3m de ancho, para poder pasar por el tunel?



Problemas de los comentarios.
Una parábola tiene el vértice en el punto v(5,-1), el parámetro es 4, el eje focal es paralelo añ de ñas abscisas y las astas abren hacia la parte negativa. La coordenada del foco es:



Más ejercicios resueltos (PDF):

42 comentarios:

  1. io kiero0 k me resuelvan esta si en una parabola el vertice es el punto v(5,-1), el parametro es 4, el eje focal es paralelo al de las abcisas y las astas abren hacia la parte negativa, la coordenada del foco es:
    kiero0 repuesta por favor con procedimiento0

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    1. La solución a tu ejercicio está al final ...

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  2. hola, por favor podrian explicarme la solucion Del siguiente problema??.. gracias..
    hallar la longitud de la cuerda focal de la parabola P:x(al cuadrado)+8y=0 que es paralela a la recta L:3X+4Y-7=0.... ES URGENTE!!

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    1. Viendo la ecuación: x^2 + 8y = 0, concluimos que la parábola tiene el vértice en (0,0).
      x^2 + 8y = 0
      x^2 = -8y
      Comparando con la formula x^2 = 4py, entonces
      4p = -8
      p = -2
      El foco es F =(h,k+p) donde (h,k) es el vértice de la parábola, el vértice es (h,k)=(0,0) , luego
      F =(0,-2)
      La recta paralela que pasa por F
      3x + 4y + C = 0
      3(0)0 + 4(-2)+ C = 0
      C = 8
      La ecuación de la recta que pasa por F,
      3x + 4y + 8 = 0
      Hallamos la intersección con la parábola, x^2 = -8y
      y = -1/8x^2
      Reemplazamos en la ecuación de la recta
      3x + 4(-1/8x^2)+ 8 = 0
      3x - 1/2x^2+ 8 = 0
      multiplico por 2 y ordenando
      -x^2 + 6x + 16 = 0
      x^2 - 6x - 16 = 0
      factorizamos
      (x-8)(x+2) = 0
      x1 = 8
      x2 = -2
      Reemplazamos en y = -1/8x^2
      y1 = -8
      y2 = -1/2
      Los puntos son (8,-8) y (-2, -1/2), luego hallamos la distancia entre estos puntos:
      d = √((8-(-2))^2 + (-8-(-1/2)) ^2)
      d = √(10^2 + (-7.5)^2)
      d = 12.5

      Cuando tenga tiempo lo subo en vídeo ;)

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  3. Bueno Profesor quisiera que me ayude a resolver este ejercicio: Hallar la ecuacion de la parabola cuyo vertice y foco son los puntos V(-4,3) y F(-1,3), respectivamente. Hallar tambien las ecuaciones de su directriz y su eje.
    Gracias

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    1. Graficando el vertice y el foco, vemos que el el eje focal es paralelo al eje x, entonces la ecuación de la parabola es:
      (y-k)^2 = -4p(x-h)

      Los datos que tenemos son:
      V(h,k) = V(-4,3) ==> h = -4, k = 3
      F(h-p,k) = F(-1,3) ==> h-p = -1 ==> -4-p = -1 ==> p = -3

      Reemplazamos los valores en la ecuación:
      (y-k)^2 = -4p(x-h)
      (y-3)^2 = -4(-3)(x+4)
      (y-3)^2 = 12(x+4)

      El gráfico de la parábola y los demás elementos puedes verlos aquí: http://goo.gl/GChRj

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    2. bien ahiii Alex Zevallos , Atte : Aquino. el prOf.
      .......xD!! felicitaciones te has vuelto un maestro :D

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  4. Profe me puede explicar este problema?
    Dar la ecuacion de la parabola cuyo vertice esta sobre 3x-2y-19=0, foco sobre x+4y=0 y cuya directriz es x=2

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    1. si D:x=2, quiere decir que la parabola es horizontal que coincide o es paralelo al eje x, por lo que la parabola puede abrir hacia la izquierda de la directriz o hacia la derecha de la directriz, la forma canonica seria (y-k)^2=+-4p(x-h), donde - si esta a la izquierda de x=2 o + si esta a la derecha de x=2........debo pensar un poco más....hasta luego

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  5. Profe me puede explicar el siguiente problema?
    Hallar la ecuacion de la elipse con centro en (-1, -1) uno de sus vertices esta en (5, -1) y su excentricidad

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  6. Buenas tardes profe podria asesorarme con el siguiente problema:
    Encuentra una ecuacion de la recta tangente a X2= -5y en el P(5, -5)

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  7. Muchas gracias..he entendido correctamente como resolver problemas de ese tipo... mui buena pagina aunque seria bueno que subiera ejercicios dados el foco y la ecuacion de la directriz
    gracias...

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  8. buenas noches me gustaría pedir ayudar en como resolver un problema relacionado con la parábola tengo la respuesta pero no se como llegar a ella bueno aquí les va

    una compañia de television por cable da servicio a 500 usarios y cobra $20 al mes. Un estudio de mercado indica que por cada dolar menos en la tarifa mensual, se suscribiran 500 nuevos clientes. Ahora bien, R(x) denota el ingreso total mensual cuando el cobro es de dolares mensuales
    a. determina la funcio de ingreso R

    nomas necesito ayuda con esta parte por favor y desculpen mi ortografia no domino bienel español

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  9. Buenas tardes me gustaria darle solucion a este problema: El plano x-3y+2z-14=0 corta a la esfera (x-4)^1 + y^2 + z^2 = 4 en una circunferencia E . Hallar la ecuación de la superficie descrita al deslizar la curva E paralelamente al plano a lo largo de la recta que une los centros de la esfera y la curva.

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  10. bnas tarde me urge me puedan resolver este problema:
    si un hombre se lanza al agua desde la quebrada en acapulco a una altuta de 40mts sobre el nivel del mar, si a la altura de un punto de coordenadas 0,30 rl cual hemos tomado como referencia. llebaba una separacion del acantilado de 20 mts ¿cual es el punto en el que hara contacto con el agua sin tomar encuenta el nivel del mar baja y sube por el movimiento de las olas tambien determina la ecuacion de la trayectoria descrita por la caida? m eurge porfa...

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  11. buenas tardes,tengo una duda,de la parabola y= (x-2)2 +3 debo elaborar la grafica y localizar el vertice, el foco, los puntos P y Q de lado recto. ¿como lo hago?

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  12. Buenas noche profesor tengo una duda de como resolver el siguiente problema:
    Considerar la recta L:ay+(a+29)x+3,determinar el valor de "a" de modo que L (RECTA) sea la directriz de la parabola x=6y

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  13. me podrias ayudar a resolver este ejercicio: escribe la ecuacion de la parabola P de vertice(0;1) eje Oy que pasa por A(1/2;0). muchas gracias

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    1. Ecuación de la parábola con eje focal paralelo al eje Y:
      => (x-h)^2 = 4p(y-k)
      Datos:
      vertice(0;1) => h=0, k=1
      A(1/2;0) => x=1/2, y=0
      Reemplazamos en la ecuación:
      => (1/2-0)^2 = 4p(0-1)
      => 1/4 = -4p
      => p = -1/16
      Entonces, la ecuación de la parábola es:
      => (x-0)^2 = 4(-1/16)(y-1)
      => x^2 = -1/4(y-1)


      Gracias por visitar el blog!
      :)

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  14. Hola me podrias ayudar a resolver este ejercicio y=f(x)=x²+x+1 Muchas gracias

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    1. y ¿qué es lo que tienes que hallar?

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    2. => y = x^2 + x + 1
      Utilizamos el metodo de completación de cuadrados
      => y = x^2 + x + 1 + (1/2)^2 -(1/2)^2
      => y = x^2 + x + (1/2)^2 + 1 -(1/2)^2
      => y = (x + 1/2)^2 + 1 - 1/4
      => y = (x + 1/2)^2 + 3/4
      => (y - 3/4) = (x + 1/2)^2

      => vertice (-1/2,3/4)
      => foco (-1/2,1)
      => directriz y = 1/2

      :)

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  15. los cinco puntos de la parabola, lo que es el vertice, la dieretriz, el foco y los otros dos puntos .
    Bueno en si los cinco por fa , porque ya trate de encontrarlos y no pude , si gracias

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  16. Buenas tardes, tengo una duda como obtengo la ecuación de la parabola con vértice en el origen si el foco se encuentra en (0,-2)
    Lo necesito por favor...

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  17. ¿cómo obtener el pdf? no veo algún inciso que diga descargar o dowland... quiero guardarlos en mi memoria para imprimir....pero aquí no tengo impresora.
    hipérbola, parábola, circunferencia, elipse....¿podría ayudarme?

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  18. una duda con un problema de colision aerea
    debido a un error de maniobra durante su descenso al aeropuerto, un avion golpea el ala delantera de otra aeronave que circunda la pista de aterrizaje. el impacto ocurre a 300m de altura sobre la zona del aeropuerto. algunos fragmentos salen verticalmente disparados hacia arriba y otros con una velocidad de 200m/s.
    ¿que altira alcanzaron en el aire los fragmentos que salieron disparados hacia arriba?
    ¿cuanto tiempo tardaron en caer al suelo los fragmentos que salieron lanzados hacia abajo?
    ¿cuanto tiempo tuvieron las personas que laboraban en la pista para ponerse a salvo despues de escuchar el impacto entre las dos naves?
    porfa me urge gracias...

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  19. tengo una duda ¿se puede determinar lo elementos y ecuación de una parábola con vértice en el origen sabiendo solo la medida del lado recto?

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  20. Profesor Alex como son los problemas de Vectores ? podrías dar un ejemplo por favor...

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  21. hola nesecito saber cual es el precedimento de: F(5,0)

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  22. buen tutorial te felicito y gracias

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  23. necesito ayuda para resolver estos problema f(3,-5) con directriz y =1 y f(-1,1) con directriz
    x+y=0 me urge, por favor.gracias

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  24. necesito ayuda para resolver estos problema f(3,-5) con directriz y =1 y f(-1,1) con directriz
    x+y=0 lo que tengo que hacer es determinar los elementos y la ecuaciones de la parabolas me urge, por favor.gracias

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  25. hey dos ejercicios que no he podido resolver podria ayudarme?

    8x2 -4y+1 = 0 y 20x-4y+2(y+19)2=5x-1 necesitoencontrar vertice, foco directriz, lado recto eje y ecuacion general de ambas

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  26. hola necesito encontrar la grafica y ecuacion general con los siguientes datos

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  27. A. Vértice V = (4, - \frac{2}{5}); Foco F = (0, 5).
    B. Vértice V = (2, - \frac{1}{3}); Directriz y + 8 = 0.
    C. Directriz x + 4 = 0; Foco F = (2, 0).
    D. Vértice V = (-1, -2); eje vertical y pasa por P = (3, 6).
    E. Vértice V = (2, 3); LR = 16 y la parábola abre hacia arriba.
    necesito encontrar la grafica y ecuacion general

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  28. al jugar juanita describe una trayectoria siguiendo la ecuacion X^2+y^2=16 me pueden ayudar me urgee

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  29. 1- Un túnel tiene forma parabólica, dada por la función

    a) ¿Qué altura tiene a 2m del arranque del arco?
    b) ¿Cuál es su altura máxima?
    c) ¿Hay que tomar alguna precaución para que circule un autobús de 3m de alto por 2,5 m de ancho?

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  30. Buenas tardes, ¿cómo se desarrollaría el siguiente problema de aplicación? Es hallar el vértice, no obstante se me dificulta el planteamiento: Una editorial vende a los expendios de revistas una publicación científica a $60 el ejemplar, y cada 50 ejemplares qye excendas los 500, el precio de venta disminuye $2 ¿cuántos ejemplares extras debe adquirir un expendio para que la editorial tenga un ingreso máximo?

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  31. deduzca la ecuación de la parábola con foco F ( 0 ; P/2 ) y directriz y = P/2

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  32. alguien me puede ayudar a resolver este ejercicio: hallar la distancia del foco al vértice de una antena parabólica que tiene como diámetro 1 metro y 20 cm de profundidad.

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  33. Podrían ayudarme con este problema.....
    UN CABLE DE ACERO ESTA COLGADO POR SUS EXTREMOS EN DOS PUNTOS DE SUSPENSIÓN SITUADOS A UNA MISMA ALTURA Y SEPARADOS A UNA DISTANCIA DE 20m. LA MAGNITUD DE LA FLEXIÓN A LA DISTANCIA DE 2m DE LOS PUNTOS DE SUSPENSIÓN EN SENTIDO HORIZONTAL ES IGUAL A 0.144. DETERMINAR LA MAGNITUD DE SUSPENSIÓN DE ESTE CABLE EN SU PUNTO MEDIO, SUPONIENDO QUE ESTE TIENE FORMA PARABÓLICA...
    .....porfa...es urgente....!!!!!

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