martes, febrero 15

Ecuación de la Parabola - Problemas Resueltos - Geometria Analitica



Definición de Parábola



Demostración de la ecuación de la parabola con vértice en el origen.



Obtener los elementos(Vértice, foco, directriz, lado recto) de parábola dada su ecuación.



Demostracion de la ecuación de la parábola con vértice fuera del origen.

Hallar la ecuación de la parábola con vértice V(2,5) y foco F(5,5)


Obtener los elementos(vértice, foco, directriz, lado recto, eje) de una parábola dada su ecuación.


Aplicaciones de la parábola en situaciones practicas.
1. Una antena parabólica tiene 3m de ancho, en la parte donde está situado su aparato receptor. ¿A qué distancia del fondo de la antena está colocado el receptor de señales?
2. Un túnel de una carretera tiene forma de un arco parabólico, que tiene 5m de ancho y 4m de altura, ¿Cuál es la altura máxima que puede tener un vehículo de transporte de 3m de ancho, para poder pasar por el tunel?



Problemas de los comentarios.
Una parábola tiene el vértice en el punto v(5,-1), el parámetro es 4, el eje focal es paralelo añ de ñas abscisas y las astas abren hacia la parte negativa. La coordenada del foco es:




Más ejercicios resueltos (PDF):
https://app.box.com/shared/5ei1k6heyc
 


92 comentarios:

  1. io kiero0 k me resuelvan esta si en una parabola el vertice es el punto v(5,-1), el parametro es 4, el eje focal es paralelo al de las abcisas y las astas abren hacia la parte negativa, la coordenada del foco es:
    kiero0 repuesta por favor con procedimiento0

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    1. La solución a tu ejercicio está al final ...

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  2. hola, por favor podrian explicarme la solucion Del siguiente problema??.. gracias..
    hallar la longitud de la cuerda focal de la parabola P:x(al cuadrado)+8y=0 que es paralela a la recta L:3X+4Y-7=0.... ES URGENTE!!

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    1. Viendo la ecuación: x^2 + 8y = 0, concluimos que la parábola tiene el vértice en (0,0).
      x^2 + 8y = 0
      x^2 = -8y
      Comparando con la formula x^2 = 4py, entonces
      4p = -8
      p = -2
      El foco es F =(h,k+p) donde (h,k) es el vértice de la parábola, el vértice es (h,k)=(0,0) , luego
      F =(0,-2)
      La recta paralela que pasa por F
      3x + 4y + C = 0
      3(0)0 + 4(-2)+ C = 0
      C = 8
      La ecuación de la recta que pasa por F,
      3x + 4y + 8 = 0
      Hallamos la intersección con la parábola, x^2 = -8y
      y = -1/8x^2
      Reemplazamos en la ecuación de la recta
      3x + 4(-1/8x^2)+ 8 = 0
      3x - 1/2x^2+ 8 = 0
      multiplico por 2 y ordenando
      -x^2 + 6x + 16 = 0
      x^2 - 6x - 16 = 0
      factorizamos
      (x-8)(x+2) = 0
      x1 = 8
      x2 = -2
      Reemplazamos en y = -1/8x^2
      y1 = -8
      y2 = -1/2
      Los puntos son (8,-8) y (-2, -1/2), luego hallamos la distancia entre estos puntos:
      d = √((8-(-2))^2 + (-8-(-1/2)) ^2)
      d = √(10^2 + (-7.5)^2)
      d = 12.5

      Cuando tenga tiempo lo subo en vídeo ;)

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  3. Bueno Profesor quisiera que me ayude a resolver este ejercicio: Hallar la ecuacion de la parabola cuyo vertice y foco son los puntos V(-4,3) y F(-1,3), respectivamente. Hallar tambien las ecuaciones de su directriz y su eje.
    Gracias

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    1. Graficando el vertice y el foco, vemos que el el eje focal es paralelo al eje x, entonces la ecuación de la parabola es:
      (y-k)^2 = -4p(x-h)

      Los datos que tenemos son:
      V(h,k) = V(-4,3) ==> h = -4, k = 3
      F(h-p,k) = F(-1,3) ==> h-p = -1 ==> -4-p = -1 ==> p = -3

      Reemplazamos los valores en la ecuación:
      (y-k)^2 = -4p(x-h)
      (y-3)^2 = -4(-3)(x+4)
      (y-3)^2 = 12(x+4)

      El gráfico de la parábola y los demás elementos puedes verlos aquí: http://goo.gl/GChRj

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    2. bien ahiii Alex Zevallos , Atte : Aquino. el prOf.
      .......xD!! felicitaciones te has vuelto un maestro :D

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  4. Profe me puede explicar este problema?
    Dar la ecuacion de la parabola cuyo vertice esta sobre 3x-2y-19=0, foco sobre x+4y=0 y cuya directriz es x=2

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    1. si D:x=2, quiere decir que la parabola es horizontal que coincide o es paralelo al eje x, por lo que la parabola puede abrir hacia la izquierda de la directriz o hacia la derecha de la directriz, la forma canonica seria (y-k)^2=+-4p(x-h), donde - si esta a la izquierda de x=2 o + si esta a la derecha de x=2........debo pensar un poco más....hasta luego

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  5. Profe me puede explicar el siguiente problema?
    Hallar la ecuacion de la elipse con centro en (-1, -1) uno de sus vertices esta en (5, -1) y su excentricidad

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  6. Buenas tardes profe podria asesorarme con el siguiente problema:
    Encuentra una ecuacion de la recta tangente a X2= -5y en el P(5, -5)

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  7. Muchas gracias..he entendido correctamente como resolver problemas de ese tipo... mui buena pagina aunque seria bueno que subiera ejercicios dados el foco y la ecuacion de la directriz
    gracias...

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  8. buenas noches me gustaría pedir ayudar en como resolver un problema relacionado con la parábola tengo la respuesta pero no se como llegar a ella bueno aquí les va

    una compañia de television por cable da servicio a 500 usarios y cobra $20 al mes. Un estudio de mercado indica que por cada dolar menos en la tarifa mensual, se suscribiran 500 nuevos clientes. Ahora bien, R(x) denota el ingreso total mensual cuando el cobro es de dolares mensuales
    a. determina la funcio de ingreso R

    nomas necesito ayuda con esta parte por favor y desculpen mi ortografia no domino bienel español

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  9. Buenas tardes me gustaria darle solucion a este problema: El plano x-3y+2z-14=0 corta a la esfera (x-4)^1 + y^2 + z^2 = 4 en una circunferencia E . Hallar la ecuación de la superficie descrita al deslizar la curva E paralelamente al plano a lo largo de la recta que une los centros de la esfera y la curva.

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  10. bnas tarde me urge me puedan resolver este problema:
    si un hombre se lanza al agua desde la quebrada en acapulco a una altuta de 40mts sobre el nivel del mar, si a la altura de un punto de coordenadas 0,30 rl cual hemos tomado como referencia. llebaba una separacion del acantilado de 20 mts ¿cual es el punto en el que hara contacto con el agua sin tomar encuenta el nivel del mar baja y sube por el movimiento de las olas tambien determina la ecuacion de la trayectoria descrita por la caida? m eurge porfa...

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  11. buenas tardes,tengo una duda,de la parabola y= (x-2)2 +3 debo elaborar la grafica y localizar el vertice, el foco, los puntos P y Q de lado recto. ¿como lo hago?

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  12. Buenas noche profesor tengo una duda de como resolver el siguiente problema:
    Considerar la recta L:ay+(a+29)x+3,determinar el valor de "a" de modo que L (RECTA) sea la directriz de la parabola x=6y

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  13. me podrias ayudar a resolver este ejercicio: escribe la ecuacion de la parabola P de vertice(0;1) eje Oy que pasa por A(1/2;0). muchas gracias

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    1. Ecuación de la parábola con eje focal paralelo al eje Y:
      => (x-h)^2 = 4p(y-k)
      Datos:
      vertice(0;1) => h=0, k=1
      A(1/2;0) => x=1/2, y=0
      Reemplazamos en la ecuación:
      => (1/2-0)^2 = 4p(0-1)
      => 1/4 = -4p
      => p = -1/16
      Entonces, la ecuación de la parábola es:
      => (x-0)^2 = 4(-1/16)(y-1)
      => x^2 = -1/4(y-1)


      Gracias por visitar el blog!
      :)

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  14. Hola me podrias ayudar a resolver este ejercicio y=f(x)=x²+x+1 Muchas gracias

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    1. y ¿qué es lo que tienes que hallar?

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    2. => y = x^2 + x + 1
      Utilizamos el metodo de completación de cuadrados
      => y = x^2 + x + 1 + (1/2)^2 -(1/2)^2
      => y = x^2 + x + (1/2)^2 + 1 -(1/2)^2
      => y = (x + 1/2)^2 + 1 - 1/4
      => y = (x + 1/2)^2 + 3/4
      => (y - 3/4) = (x + 1/2)^2

      => vertice (-1/2,3/4)
      => foco (-1/2,1)
      => directriz y = 1/2

      :)

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  15. los cinco puntos de la parabola, lo que es el vertice, la dieretriz, el foco y los otros dos puntos .
    Bueno en si los cinco por fa , porque ya trate de encontrarlos y no pude , si gracias

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  16. Buenas tardes, tengo una duda como obtengo la ecuación de la parabola con vértice en el origen si el foco se encuentra en (0,-2)
    Lo necesito por favor...

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  17. ¿cómo obtener el pdf? no veo algún inciso que diga descargar o dowland... quiero guardarlos en mi memoria para imprimir....pero aquí no tengo impresora.
    hipérbola, parábola, circunferencia, elipse....¿podría ayudarme?

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  18. una duda con un problema de colision aerea
    debido a un error de maniobra durante su descenso al aeropuerto, un avion golpea el ala delantera de otra aeronave que circunda la pista de aterrizaje. el impacto ocurre a 300m de altura sobre la zona del aeropuerto. algunos fragmentos salen verticalmente disparados hacia arriba y otros con una velocidad de 200m/s.
    ¿que altira alcanzaron en el aire los fragmentos que salieron disparados hacia arriba?
    ¿cuanto tiempo tardaron en caer al suelo los fragmentos que salieron lanzados hacia abajo?
    ¿cuanto tiempo tuvieron las personas que laboraban en la pista para ponerse a salvo despues de escuchar el impacto entre las dos naves?
    porfa me urge gracias...

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  19. tengo una duda ¿se puede determinar lo elementos y ecuación de una parábola con vértice en el origen sabiendo solo la medida del lado recto?

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  20. Profesor Alex como son los problemas de Vectores ? podrías dar un ejemplo por favor...

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  21. hola nesecito saber cual es el precedimento de: F(5,0)

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  22. buen tutorial te felicito y gracias

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  23. necesito ayuda para resolver estos problema f(3,-5) con directriz y =1 y f(-1,1) con directriz
    x+y=0 me urge, por favor.gracias

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  24. necesito ayuda para resolver estos problema f(3,-5) con directriz y =1 y f(-1,1) con directriz
    x+y=0 lo que tengo que hacer es determinar los elementos y la ecuaciones de la parabolas me urge, por favor.gracias

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  25. hey dos ejercicios que no he podido resolver podria ayudarme?

    8x2 -4y+1 = 0 y 20x-4y+2(y+19)2=5x-1 necesitoencontrar vertice, foco directriz, lado recto eje y ecuacion general de ambas

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  26. hola necesito encontrar la grafica y ecuacion general con los siguientes datos

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  27. A. Vértice V = (4, - \frac{2}{5}); Foco F = (0, 5).
    B. Vértice V = (2, - \frac{1}{3}); Directriz y + 8 = 0.
    C. Directriz x + 4 = 0; Foco F = (2, 0).
    D. Vértice V = (-1, -2); eje vertical y pasa por P = (3, 6).
    E. Vértice V = (2, 3); LR = 16 y la parábola abre hacia arriba.
    necesito encontrar la grafica y ecuacion general

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  28. al jugar juanita describe una trayectoria siguiendo la ecuacion X^2+y^2=16 me pueden ayudar me urgee

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  29. 1- Un túnel tiene forma parabólica, dada por la función

    a) ¿Qué altura tiene a 2m del arranque del arco?
    b) ¿Cuál es su altura máxima?
    c) ¿Hay que tomar alguna precaución para que circule un autobús de 3m de alto por 2,5 m de ancho?

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  30. Buenas tardes, ¿cómo se desarrollaría el siguiente problema de aplicación? Es hallar el vértice, no obstante se me dificulta el planteamiento: Una editorial vende a los expendios de revistas una publicación científica a $60 el ejemplar, y cada 50 ejemplares qye excendas los 500, el precio de venta disminuye $2 ¿cuántos ejemplares extras debe adquirir un expendio para que la editorial tenga un ingreso máximo?

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  31. deduzca la ecuación de la parábola con foco F ( 0 ; P/2 ) y directriz y = P/2

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  32. alguien me puede ayudar a resolver este ejercicio: hallar la distancia del foco al vértice de una antena parabólica que tiene como diámetro 1 metro y 20 cm de profundidad.

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  33. Podrían ayudarme con este problema.....
    UN CABLE DE ACERO ESTA COLGADO POR SUS EXTREMOS EN DOS PUNTOS DE SUSPENSIÓN SITUADOS A UNA MISMA ALTURA Y SEPARADOS A UNA DISTANCIA DE 20m. LA MAGNITUD DE LA FLEXIÓN A LA DISTANCIA DE 2m DE LOS PUNTOS DE SUSPENSIÓN EN SENTIDO HORIZONTAL ES IGUAL A 0.144. DETERMINAR LA MAGNITUD DE SUSPENSIÓN DE ESTE CABLE EN SU PUNTO MEDIO, SUPONIENDO QUE ESTE TIENE FORMA PARABÓLICA...
    .....porfa...es urgente....!!!!!

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  34. 1. Hallar las coordenadas del foco, la ecuaci¶on de la directriz y la longitud del lado recto para las
    siguientes ecuaciones:
    y2 = 12x
    x2 = 12y
    y2 + 8x = 0
    x2 + 2y = 0
    y2 + 2y + 6x + 4 = 0
    x2 ¡ 4x ¡ 2y + 10 = 0
    2. Hallar la ecuaci¶on de la par¶abola de v¶ertice en el origen y foco en el punto (3; 0).
    3. Hallar la ecuaci¶on de la par¶abola de v¶ertice en el origen y foco en el punto (0;¡3).
    4. Hallar la ecuaci¶on de la par¶abola de v¶ertice en el origen y foco en el punto (0;¡5).
    5. Hallar la ecuaci¶on de la par¶abola de v¶ertice en el origen y foco en el punto (¡2; 0).
    6. Hallar la ecuaci¶on de la par¶abola de v¶ertice en el origen y foco en el punto (0;¡1
    2 ).
    7. Hallar la ecuaci¶on de la par¶abola de v¶ertice en el punto (2; 1), foco en el punto (2;¡3) y directriz
    y ¡ 5 = 0.
    8. Hallar la ecuaci¶on de la par¶abola de v¶ertice en el punto (4; 3), foco en el punto (1; 3) y directriz
    x ¡ 7 = 0.
    9. Hallar la ecuaci¶on de la par¶abola de v¶ertice en el punto (3; 5
    2 ), foco en el punto (3;¡1) y directriz
    y ¡ 6 = 0.
    10. Hallar la ecuaci¶on de la par¶abola de v¶ertice en el punto (2; 3) y foco en el punto (3; 3).
    11. Hallar la ecuaci¶on de la par¶abola de v¶ertice en el punto (1; 3) y directriz la recta x + 2 = 0
    12. Hallar la ecuaci¶on de la par¶abola de v¶ertice en el origen y directriz la recta y ¡ 5 = 0.
    13. Hallar la ecuaci¶on de la par¶abola de v¶ertice en el origen y directriz la recta x ¡ 3 = 0.
    14. Hallar la ecuaci¶on de la par¶abola de v¶ertice en el origen y directriz la recta 3y ¡ 2 = 0.
    15. Hallar la ecuaci¶on de la par¶abola de v¶ertice en el origen y directriz la recta 4x ¡ 1 = 0.
    16. Hallar la ecuaci¶on de la par¶abola de v¶ertice en el origen y directriz la recta x + 5 = 0.
    17. Una parab¶ola cuyo vertice esta en el origen y cuyo eje coincide con el eje "x" pasa por el punto
    (¡2; 4). Hallar la ecuaci¶on de la par¶abola, las coordenadas del foco, la ecuaci¶on de la directriz y la
    longitud de su lado recto.

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  35. HOLA ME PUEDEN AYUDAR RESOLVIENDO ESTE EJERCICIO X2 +2X +1 Y=-X+3
    ES URGENTE

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  36. Hola me pueden ayudar con este ejercicio:" el agua de un vertedero a 25m del nivel de tierra describe una crva parabolica. Si el agua es recogida por un recipiente colocado a 10m del nivel de tierra y a 17 m del vertedero . Calcular ¿a que distancia golpeara el chorro de agua en la tierra ?

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  37. buenas tardes me pued ayudar con este ejercicio -y^2+12x+10y-61=0

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    1. pero esa funcion no es una parabola, más parece un cilindro parabolico (:

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  38. Buenas noches me podria ayudar porfavor
    Con un excentricidad de 0.25 la orbita de pluton es la mas excentrica en el sistema solar.
    La longitud aproximada de eje menor de su orbita de 10.000 millones de kilometros
    Calcule la distancia de pluton al sol en el perihelio y en el afelio.

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  39. por favor ayúdeme : v(-1,0) pasa por (1,-2) eje vertical

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  40. Por favor quien puede ayudarme a resolver estas ecuaciones ( es sobre el tema de parabolas) y hay que graficar tambien, se los agradeceria
    1. y=2x^2-5x+2
    2. y=-3x^2-2x+1
    por favor alguien que tenga la respuesta enviar fotos de la solucion al correo (imezaserpa@gmail.com) muchas gracias :D

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  41. Por favor me ayudarian con este problema?.Hallar la ecuacion de la parabolade vertice en el origen, foco en el eje de ordenadas y que pasa por el punto de interseccion de las rectas: 3x+2y+8=0 y x-3y=0

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  42. Así dic la Pregunta, Dada la Ecuación de la Parábola, Y2 -4x , Hallar.
    -La ecuación del foco y elVértice.
    -La ecuación del lado recto.
    -La ecuación de la Directriz.
    -Representación Gráfica.
    spero me Ayud.

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  43. Se dispara horizontalmente una flecha desde un punto a 10 pies sobre el piso. Llega al piso a 200 pies de donde se disparo. deduce una ecuacion de la trayectoria de la flecha, con el origen del sistema de coordenadas en e punto de disparo

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  44. Hola! Necesito tu ayuda! Así dice el problema: 1. Antena parabólica: Una antena parabólica tiene forma de paraboloide de
    revolución. Las señales que emanan de un satélite llegan a la superficie de la
    antena y son reflejadas a un solo punto, donde está colocado el receptor. Si el
    disco de la antena tiene 10 pies de diámetro en su abertura y 4 pies de
    profundidad en su centro, ¿En qué posición debe ser colocado el receptor?

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    1. Mira yo pinso que te estan dando las cordenadas prar que quede (4,5)(4,-5)
      y de partes

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  45. Una estructura metálica tiene la forma de dos arcos parabólicos. La altura del arco mayor es de 25 metros y su base mide 18 metros, mientras que la altura del arco menor es de 18 metros y su base mide 12 metros. Ambos arcos están unidos por 5 soportes equidistantes. Hallar la longitud total de los soportes.

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  46. ayúdenme por favor a resolver estos ejercicios.
    Halla la ecuación general de la elipse con C (-2,3), V (8,3) y excentricidad 3/5.

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  47. me podrian ayudar a encontrar la ecuacion de la circunferencia que pasa por los puntos de interseccion de estas dos parabolas: 2x^2=-4x+8y+54 y 3y^2=12x-6y+69

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  48. Me podrian ayudar con este problema?
    Una parabola tiene su vertice en el origen e interseca a la recta x+4y-9=0, en el punto donde su abscisa es la mitad de su ordenada. Encuentra la ecuación de la parábola (existen dos soluciones)

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  49. Como podria hacer este problema: suponga que el agua que sale por el externo de un tubo horizontal describe un arco parabólico con su vértice en el extremo del tubo. Este tubo está a 20 metros sobre el suelo.En un punto a 2 metros abajo del extremo del extremo del tubo, la distancia horizontal del agua a una vertical que pase por el extremo del tubo es de 4 metros.¿donde toca el suelo?

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  50. profesor me podria ayudar con ese problema: longitud de la cuerda focal de la parabola y^2=4x que es perpendicular a la recta L; 2x+y-8=0, hallar x

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  51. Me puede ayudar por fis :)
    Determinar los elementos de la parabola cuya ecuacion es Y al cuadrado= -12x

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    1. La ecuacion de la parabola con eje focal paralelo al eje horizontal, y vertice en (h,k)
      => (y-k)^2 = 4p(x-h)
      La ecuacion del problema
      => y^2 = -12x
      El vertice
      => V=(0,0)
      Hallamos p
      => 4p = -12
      => p = -3
      El foco
      => F=(-3,0)
      La directriz
      => x=3
      El lado recto
      => LR = |4(-3)| = 12
      :)

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  52. Este comentario ha sido eliminado por el autor.

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  53. Me pueden ayudar con este problema? Determina las coordenasdas del vértice, el foco, la longitud del ancho focal, y la ecuación de la directriz de la parábola x2 - 12x -16y-60=0

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    1. Primero, obtenemos la ecuacion ordinaria completando cuadrados
      => x^2 - 12x - 16y - 60 = 0
      => x^2 - 12x + 6^2 - 6^2 - 16y - 60 = 0
      => (x - 6)^2 - 36 - 16y - 60 = 0
      => (x - 6)^2 = 16y + 96
      => (x - 6)^2 = 16(y + 6)
      Hallamos las coordenadas del vértice
      => V(6; -6)
      Hallamos las coordenadas del foco
      => 4p = 16
      => p = 4
      => F(6;-6+4) = F(6;-2)
      Hallamos la longuitud del ancho focal
      => LR = 4p = 4(4) = 16
      Hallamos la ecuacion de la directriz
      => y = -6-4
      => y = - 10
      :)

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  54. Buenos días profe, quisiera pedir su amable ayuda para resolver un problema que me he topado en mi guía de estudios de geometría analítica para entrar a la universidad:
    Una empresa ha determinado que, en promedio, se venden 600 pares de tenis mensualmente a un precio unitario de $100. También ha determinado que por cada reducción de $5 en el precio se venden 50 pares más al mes. ¿Con qué precio se obtiene el ingreso mensual máximo?
    Le agradezco de antemano!! =)
    Saludos,Zury.

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  55. Les ha llegado la invitación para participar en el diseño de una cancha de skate. Para ello, deben considerar que los “skaters” se lanzan de una plataforma de 3 metros de alto, ubicada a la derecha (A), hacia una rampa que está a la izquierda (B), donde disminuyen su rapidez al subir por ésta, tal como se observa en la figura.
    3,0
    2,5
    2,0
    1,5
    1,0
    0,5
    0,0
    0 1 2 3 4 5 6 7
    Se desea conectar la rampa de la izquierda con la plataforma de la derecha, a través de una parábola, de modo que la curva sea continua para x=2 y x=4. Naturalmente, se solicita que la pendiente de la parábola sea la que posee la rampa en el punto de conexión para asegurar un deslizamiento suave de los deportistas.
    1. Identifique y clasifique la ecuación general de la parábola.
    2. Señale y explique los 3 conceptos que se deben aplicar para resolver el problema y diseñar la rampa que los skaters necesitan.
    3. Desarrolle paso a paso la solución de la parábola.

    SERA POSIBLE QUE ME PUEDAN AYUDAR

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  56. Les ha llegado la invitación para participar en el diseño de una cancha de skate. Para ello, deben considerar que los “skaters” se lanzan de una plataforma de 3 metros de alto, ubicada a la derecha (A), hacia una rampa que está a la izquierda (B), donde disminuyen su rapidez al subir por ésta, tal como se observa en la figura.
    3,0
    2,5
    2,0
    1,5
    1,0
    0,5
    0,0
    0 1 2 3 4 5 6 7
    Se desea conectar la rampa de la izquierda con la plataforma de la derecha, a través de una parábola, de modo que la curva sea continua para x=2 y x=4. Naturalmente, se solicita que la pendiente de la parábola sea la que posee la rampa en el punto de conexión para asegurar un deslizamiento suave de los deportistas.
    1. Identifique y clasifique la ecuación general de la parábola.
    2. Señale y explique los 3 conceptos que se deben aplicar para resolver el problema y diseñar la rampa que los skaters necesitan.
    3. Desarrolle paso a paso la solución de la parábola.

    SERA POSIBLE QUE ME PUEDAN AYUDAR

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  57. Hola Profe. Muy buena explicación
    Será que podes desarrollar este ejercicio?
    (hallar la ecuación general de la parábola. Que satisface características de vértice (v) y foco (F) V =4,1 F = 4,3
    Sería de mucha ayuda gracias

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    1. Ecuación de la parábola con vértice en (h,k):
      => (x-h)^2 = 4p(y-k)
      Sabemos que V=(4,1) F=(4,3), entonces p=3-1=2, reemplazando
      => (x-4)^2 = 4(2)(y-1)
      => (x-4)^2 = 8(y-1)
      Desarrollando el exponente
      => x^2-8x+16 = 8y - 8
      => x^2-8x-8y+24 = 0
      :)

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  58. Ayuda con este ejercicio please. 6y^2 - 18y + 22x +19 = 0
    No encuentro de que manera hacerlo

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    1. Los elementos de la parabóla
      => foco: (-7/6, 3/2)
      => vertíce: (-1/4, 3/2)
      => lado recto: 11/12
      => directriz x = 2/3
      :)

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  59. Como hallar p en para ecuancion de parabola fuera del origen cuando sólo me dan un punto donde pasa la parabola y el vértice

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  60. determinar la ecuacion del cilindro recto con forma parabolivo con distancia focal 4

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  61. determine la ecuacion de la superficie conica con vertice (3,-1,2) y directriz D: Y=4sen 2x z=0 G: x-3= alfa(z-2) y+1= beta (z-2)

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  62. profe me podria ayudar con el siguiente ejercicio

    El ancho focal de una parabola es la longitud de su cuerda focal; esto es, es el segmento de recta que pasa por el foco perpenicular al eje con sus extremos en la parabola.
    a) calcule el ancho focal de la parabola x^2=8y
    b) demuestre que el ancho focal de la parabola x^2=4cy y y^2=4cx

    gracias espero pronta respuesta por favor

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  63. AYUDAAA! Se dispara horizontalmente una flecha desde un punto de 10 pies sobre el piso. Llega al piso a 200 pies de donde de disparo. Deduce una ecuación de la trayectoria de la flecha.

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  64. Sea
    L1
    cuyo vector director es
    n= (5,2)
    y pasa por el punto
    (1;2)
    , la recta
    L2
    con vector normal
    a= (4,7)
    pasa por el punto
    (2,-1) ,
    L3:x-1/4=2-y/3
    Halle la ecuación general de la recta
    L4
    si pasa por la intersección
    de la recta
    L1
    con
    L2
    , y además es ortogonal a
    L3
    . Luego determine la ecuación general de
    L5
    que es
    paralela a
    L4
    y la distancia entre las dos es de 2u

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  65. Este comentario ha sido eliminado por el autor.

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  66. podrian ayudarme? se planea hacer un arco parabolico con eje vertical y cuyos puntos de apoyo estan separados por una distancia de 30 m. si el foco de la parabola debe estar a 8m de altura ¿cual es la altura que debe tener el arco?

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  67. Ayúdeme
    Un arco de túnel es de forma parabólica, tiene una altura de 10 metros y un ancho de 20 metros. Hallar la altura del túnel a 5 metros hacia la izquierda o derecha del centro

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    1. Hola, aquí la solución del problema con parábolas:
      Ecuacion de la parábola vertical, con vertice en (h,k)
      => (x-h)^2 = 4p(y-k)
      "Un arco de túnel es de forma parabólica, tiene una altura de 10 metros"
      => V=(0,10)
      => (x-0)^2 = 4p(y-10)
      => x^2 = 4p(y-10)
      " y un ancho de 20 metros."
      => pasa por el punto (20,0)
      => 20^2 = 4p(0-10)
      => 400 = -40p
      => p = -10
      La ecuación de la parábola
      => x^2 = 4(-10)(y-10)
      => x^2 = -40(y-10)
      "Hallar la altura del túnel a 5 metros hacia la izquierda o derecha del centro"
      => 5^2 = -40(y-10)
      => 25 = -40y+400
      => y = 9.375
      :)

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  68. Profe cual es el valor de "a" si la parabola Y^2=-4ax pasa por el punto (1,1)

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    1. Como la parábola pasa por el punto (1,1), entonces
      => y^2 = -4ax
      => (1)^2 = -4a(1)
      => 1 = -4a
      => a = -1/4
      :)

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  69. Hallar la ecuación de la parabola con vértice en el origen y foco (3,0)

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  70. Hola, buen dia , Me prodrian ayudar
    Tengo que encontrar la ecuacion de la parabola de directria x+6=0 y de foco F(10,2)
    De antemano gracias

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    1. Suponiendo que la parabola tiene vertice en el origen:
      De la directriz
      => x+6=0
      => x = -6
      => p = 6
      Del foco
      => F(h+p,k) = F(10,2)
      => h+p=10
      => h = 4
      => k = 2
      La ecuacion del parabola
      => (y-k)^2 = 4p(x-h)
      => (y-2)^2 = 4(6)(x-4)
      => (y-2)^2 = 24(x-4)
      :)

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